Excel. Использование циклических ссылок для решения уравнений итерационным способом

Ранее я описал, как найти и исправить циклическую ссылку. Напомню, что циклическая ссылка появляется, если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на саму эту ячейку (напрямую или через цепочку других ссылок). Например (рис. 1), в ячейке С2 находится формула, ссылающаяся на саму ячейку С2.

В открывшемся окне «Параметры Excel» перейдите на вкладку Формулы и отметьте «Включить итеративные вычисления» (рис. 3). Помните, что эта опция включается для приложения Excel в целом (а не для одного файла), и будет действовать, пока вы ее не отключите.

На этой же вкладе, можно выбрать, как будут вестись вычисления: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel сразу рассчитает конечный результат, при вычислениях, вручную, можно будет наблюдать результат каждой итерации (простым нажатием F9 запуская каждый новый цикл вычисления).

Решим уравнение третьей степени: х 3 – 4х 2 – 4х + 5 = 0 (рис. 4). Для решения этого уравнения (и любого другого уравнения совершенно произвольного вида) понадобится всего одна ячейка Excel.

Для решения уравнения нам понадобится рекуррентная формула (то есть, формула, выражающая каждый член последовательности через один или несколько предыдущих членов):

f(x) – функция, задающая уравнение, корни которого мы ищем; f(x) = х 3 – 4х 2 – 4х + 5

f’(x) – производная нашей функции f(x); f’(x) = 3х 2 – 8х – 4; производные основных элементарных функций можно посмотреть здесь.

Если вы заинтересовались, откуда взялась формула (1), можете почитать, например, здесь.

Выберем любую ячейку на листе Excel (рис. 5; в нашем примере это ячейка G19), присвоим ей имя х, и введем в нее формулу:

Можно вместо х использовать адрес ячейки… но согласитесь, что имя х, смотрится привлекательнее; следующую формулу я ввел в ячейку G20:

Рис. 5. Рекуррентная формула: (а) для поименованной ячейки; (б) для обычного адреса ячейки

Для изменения стартового значения, с которого рекуррентная формула начинает свои итерации, предлагается использовать функцию ЕСЛИ: [1]

Здесь значение «-5» – начальное значение для рекуррентной формулы. Изменяя его, можно выйти на все корни уравнения:

Начальное значение	Корень уравнения
1	0,77
-5	-1,40
8	4,63

7 комментариев для “Excel. Использование циклических ссылок для решения уравнений итерационным способом”

Офигенный сайт!
И как всегда когда не нужно все находишь!
Блин у меня по экономическому моделированию в Excell курсовик был в институте, вот время помню кучу потерял а тут все в одном флаконе:)
Все равно инфа пригодится, даже очень!

В упор не понимаю откуда берется предел для определения корней уравнения, если «Здесь значение «-5» – начальное значение для рекуррентной формулы. Изменяя его, можно выйти на все корни уравнения»

У меня график получается, который с осью Х не имеет вообще пересечений, мож где накосячила?
Пожалуйста подскажите, а то у меня взрыв мозга будет скоро…((((

Тамара, если Вы строите график на основе моих данных, откройте файл Excel; если Вы используете собственные данные, пришлите мне на mail Ваш файл, попробую помочь))

Спасибо заранее за беспокойство, вот такое уравнение у^3-20у^2-158у-420=0, если не трудно объясните пожалуйста как вы определяте предел в каких знчениях надо считать корни.

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Решение систем уравнений в Excel

Метод Ньютона можно рассматривать как некоторую модификацию метода итераций, дающую наилучшую итерирующую функцию g(X) на каждом шаге итерации. Проведем следующие преобразования с исходным каноническим уравнением f(X)=0. Умножим левую и правую его части на некоторое число l, отличное от нуля. Затем прибавим слева и справа по Х. Тогда будем иметь

Метод Ньютона можно рассматривать как некоторую модификацию метода итераций, дающую наилучшую итерирующую функцию g(X) на каждом шаге итерации. Проведем следующие преобразования с исходным каноническим уравнением f(X)=0. Умножим левую и правую его части на некоторое число l, отличное от нуля. Затем прибавим слева и справа по Х. Тогда будем иметь

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Следующим шагом будет поиск определителя для каждой из матриц. Стоит учесть, решение можно будет найти лишь в том случае, если каждый из определителей будет отличным от «0».
Используя оператор «МОПРЕД» находим определители, указывая вместо аргумента «массив» каждую из матриц.

Рис.3.1.

Ранее я описал, как найти и исправить циклическую ссылку. Напомню, что циклическая ссылка появляется, если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на саму эту ячейку (напрямую или через цепочку других ссылок). Например (рис. 1), в ячейке С2 находится формула, ссылающаяся на саму ячейку С2.

Четвертый метод

1. Выразите уравнения в стандартной форме. Если это необходимо, используйте основы алгебры и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались по левую сторону от знака равенства. Следующие два уравнения идентичны, но второе приведено в стандартном виде:
   3x — 8 = -4y
   3x + 4y = 8 .
2. Разместите коэффициенты в диапазоне ячеек размером n x n, где n представляет собой количество уравнений. На рис. 128.1 коэффициенты находятся в диапазоне I2:J3 .
3. Разместите константы (числа с правой стороны от знака равенства) в вертикальном диапазоне ячеек. На рис. 128.1 константы находятся в диапазоне L2:L3 .
4. Используйте массив формул для расчета обратной матрицы коэффициентов. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон I6:J7 (не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter, чтобы ввести формулу массива): =МОБР(I2:J3) .
5. Используйте формулу массива для умножения обратной матрицы коэффициентов на матрицу констант. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон J10:JJ11 , который содержит решение ( x = 7,5 и у = -3,625 ): =МУМНОЖ(I6:J7;L2:L3) . На рис. 128.2 показан лист, настроенный для решения системы из трех уравнений.

Первобытная мама по имени (впрочем, у неё и имени- то не было) сорвала с дерева 12 яблок и решила поделить их между своими четырьмя детьми. Она не умела считать ни до четырёх, ни до двенадцати. Она поступила так: дала каждому по одному яблоку, потом ещё по одному, потом ещё по одному, и увидела, что и яблок больше нет, и никто из детей не обижен.