Как решать задачи на функцию

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « y = 2x − 1 »

Для того, чтобы вычислить « y » при « x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо « x » необходимое числовое значение.

Для того, чтобы найти « x » по известному « y », необходимо подставить вместо « y » в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска « x » мы подставляем в функцию « y = 2x − 1 » вместо « y » число « −19 » .

Мы получили линейное уравнение с неизвестным « x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Запомните!

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на « −1 » для смены знака.

Теперь разделим и левую, и правую часть на « 2 », чтобы найти « x » .

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « f(x) = 2 − 5x ».

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию « f(x) = 2 − 5x » числовое значение « x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Когда подставляете отрицательное число вместо « x », обязательно заключайте его в скобки.

Неправильно

Правильно

Это означает, что « f(−2) = −18 » для функции « f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси « Ox » вместо « x » и координату по оси « Oy » вместо « y »).

Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию « y = x 2 − 5x + 6 » координаты точки (1; 2) .

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1) . Принадлежит ли она
функции « y = x 2 − 5x + 6 »?

В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции « y = x 2 − 5x + 6 »

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции « y(x) = −2x + 1 », чему равен « y » при x = 2 .

Для этого из значения « 2 » на оси « Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси « Oy ».

Полученное значение « −3 » на оси « Oy » и будет искомым значением « y ».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции « y(x) = −2x + 1 ».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции « y(x) = −2x + 1 ». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3 .

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений « x » в функцию.

При подстановке числового значения « x » в функцию в результате должно получиться то же значение « y », которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

В окне аргументов есть 3 поля. В первое вводят с клавиатуры значение аргумента (в конкретной задаче это 28). Для того чтобы заполнить поле «Известные значения _ y», нажимают на иконку с красной стрелкой слева от соответствующего окошка и выделяют соответствующую область на листе. В конкретном случае это часть столбца В с адресами из диапазона B2:B7.

Использование встроенных функций Excel — МегаЛекции

• Теперь следует переместиться в самую верхнюю ячейку под заголовком второго столбца, нажать на клавишу «Равно» и ввести нужную формулу. В примере будет построен график параболы, то есть любое значение Y равно соответствующему X, возведённому во вторую степень; для такой простой зависимости достаточно умножить соседнюю ячейку саму на себя, после чего нажать на клавишу Enter.

Взглянув на эти типы можно догадаться, что Excel не умеет сохранять пробелы в конце строки и перед знаком ‘=’. Кроме этого пробелы внутри структурированных ссылок и массивов так же сохранены не будут.

Использование встроенных функций Excel

В Excel имеется также инструмент регрессионного анализа для построения линий тренда вне области диаграммы. Для этой цели можно использовать ряд статистических функций рабочего листа, однако все они позволяют строить лишь линейные или экспоненциальные регрессии.

В Excel имеется несколько функций для построения линейной регрессии, в частности:

А также несколько функций для построения экспоненциальной линии тренда, в частности:

Достоинствами инструмента встроенных функций для регрессионного анализа являются:

· достаточно простой однотипный процесс формирования рядов данных исследуемой характеристики для всех встроенных статистических функций, задающих линии тренда;

· стандартная методика построения линий тренда на основе сформированных рядов данных;

· возможность прогнозирования поведения исследуемого процесса на необходимое количество шагов вперед или назад.

А к недостаткам относится то, что в Excel нет встроенных функций для создания других (кроме линейного и экспоненциального) типов линий тренда. Это обстоятельство часто не позволяет подобрать достаточно точную модель исследуемого процесса, а также получить близкие к реальности прогнозы. Кроме того, при использовании функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ не известны уравнения линий тренда.

Рассмотрим решение конкретных задач с помощью перечисленных инструментов пакета Excel.

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг. необходимо выполнить следующие действия.

2. В диаграмму добавить линейную и полиномиальную (квадратичную и кубическую) линии тренда.

3. Вывести уравнения полученных линий тренда, а также величины достоверности аппроксимации R2 для каждой из них.

4. Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные по прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2004 г.г.

5. Составить прогноз по прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг.

1. В диапазон ячеек A4:C11 рабочего листа Excel вводим рабочую таблицу, представленную на рис. 4.

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг., приведенной в задаче 1, необходимо выполнить следующие действия.

2. В диаграмму добавить логарифмическую, степенную и экспоненциальную линии тренда.

3. Вывести уравнения полученных линий тренда, а также величины достоверности аппроксимации R2 для каждой из них.

4. Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные о прибыли предприятия для каждой линии тренда за 1995-2002 гг.

5. Составить прогноз о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг., используя эти линии тренда.

Следуя методике, приведенной при решении задачи 1, получаем диаграмму с добавленными в нее логарифмической, степенной и экспоненциальной линиями тренда (рис. 7). Далее, используя полученные уравнения линий тренда, заполняем таблицу значений по прибыли предприятия, включая прогнозируемые значения на 2003 и 2004 гг. (рис. 8).

На рис. 5 и рис. видно, что модели с логарифмическим трендом, соответствует наименьшее значение достоверности аппроксимации

Наибольшие же значения R2 соответствуют моделям с полиномиальным трендом: квадратичным (R2 = 0,9263) и кубическим (R2 = 0,933).

С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за 1995-2002 гг., приведенной в задаче 1, необходимо выполнить следующие действия.

1. Получить ряды данных для линейной и экспоненциальной линии тренда с использованием функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ.

2. Используя функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, составить прогноз о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг.

3. Для исходных данных и полученных рядов данных построить диаграмму.

Воспользуемся рабочей таблицей задачи 1 (см. рис. 4). Начнем с функции ТЕНДЕНЦИЯ:

1. выделяем диапазон ячеек D4:D11, который следует заполнить значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ, соответствующими известным данным о прибыли предприятия;

2. вызываем команду Функция из меню Вставка. В появившемся диалоговом окне Мастер функций выделяем функцию ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистические, после чего щелкаем по кнопке ОК. Эту же операцию можно осуществить нажатием кнопки (Вставка функции) стандартной панели инструментов.

3. В появившемся диалоговом окне Аргументы функции вводим в поле Известные_значения_y диапазон ячеек C4:C11; в поле Известные_значения_х — диапазон ячеек B4:B11;

4. чтобы вводимая формула стала формулой массива, используем комбинацию клавиш + + .

Введенная нами формула в строке формул будет иметь вид: =.

В результате диапазон ячеек D4:D11 заполняется соответствующими значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ (рис. 9).

Для составления прогноза о прибыли предприятия на 2003 и 2004 гг. необходимо:

1. выделить диапазон ячеек D12:D13, куда будут заноситься значения, прогнозируемые функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

2. вызвать функцию ТЕНДЕНЦИЯ и в появившемся диалоговом окне Аргументы функции ввести в поле Известные_значения_y — диапазон ячеек C4:C11; в поле Известные_значения_х — диапазон ячеек B4:B11; а в поле Новые_значения_х — диапазон ячеек B12:B13.

3. превратить эту формулу в формулу массива, используя комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

4. Введенная формула будет иметь вид: =, а диапазон ячеек D12:D13 заполнится прогнозируемыми значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ (см. рис. 9).

Аналогично заполняется ряд данных с помощью функции РОСТ, которая используется при анализе нелинейных зависимостей и работает точно так же, как ее линейный аналог ТЕНДЕНЦИЯ.

На рис.10 представлена таблица в режиме показа формул.

Для исходных данных и полученных рядов данных построена диаграмма, изображенная на рис. 11.

С таблицей данных о поступлении в диспетчерскую службу автотранспортного предприятия заявок на услуги за период с 1 по 11 число текущего месяца необходимо выполнить следующие действия.

1. Получить ряды данных для линейной регрессии: используя функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК; используя функцию ЛИНЕЙН.

2. Получить ряд данных для экспоненциальной регрессии с использованием функции ЛГРФПРИБЛ.

3. Используя вышеназванные функции, составить прогноз о поступлении заявок в диспетчерскую службу на период с 12 по 14 число текущего месяца.

4. Для исходных и полученных рядов данных построить диаграмму.

Отметим, что, в отличие от функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, ни одна из перечисленных выше функций (НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ) не является регрессией. Эти функции играют лишь вспомогательную роль, определяя необходимые параметры регрессии.

Для линейной и экспоненциальной регрессий, построенных с помощью функций НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ, внешний вид их уравнений всегда известен, в отличие от линейной и экспоненциальной регрессий, соответствующих функциям ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ.

1. Построим линейную регрессию, имеющую уравнение:

с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК, причем угловой коэффициент регрессии m определяется функцией НАКЛОН, а свободный член b — функцией ОТРЕЗОК.

2. значение параметра m будет определяться в ячейке С19. Выбираем из категории Статистические функцию Наклон; заносим диапазон ячеек B4:B14 в поле известные_значения_y и диапазон ячеек А4:А14 в поле известные_значения_х. В ячейку С19 будет введена формула: =НАКЛОН(B4:B14;A4:A14);

3. по аналогичной методике определяется значение параметра b в ячейке D19. И ее содержимое будет иметь вид: =ОТРЕЗОК(B4:B14;A4:A14). Таким образом, необходимые для построения линейной регрессии значения параметров m и b будут сохраняться соответственно в ячейках C19, D19;

2. Теперь построим линейную регрессию, заданную уравнением:

1. вводим в диапазон ячеек C20:D20 функцию ЛИНЕЙН как формулу массива: =. В результате получаем в ячейке C20 значение параметра m, а в ячейке D20 — значение параметра b;

3. копируем эту формулу с помощью маркера заполнения в диапазон ячеек D4:D17 и получаем искомый ряд данных.

3. Строим экспоненциальную регрессию, имеющую уравнение:

с помощью функции ЛГРФПРИБЛ оно выполняется аналогично:

1. в диапазон ячеек C21:D21 вводим функцию ЛГРФПРИБЛ как формулу массива: =. При этом в ячейке C21 будет определено значение параметра m, а в ячейке D21 — значение параметра b;

3. с помощью маркера заполнения эта формула копируется в диапазон ячеек E4:E17, где и расположится ряд данных для экспоненциальной регрессии (см. рис. 12).

На рис. 13 приведена таблица, где видны используемые нами функции с необходимыми диапазонами ячеек, а также формулы.

Величина R 2 называется коэффициентом детерминации.

Задачей построения регрессионной зависимости является нахождение вектора коэффициентов m модели (1) при котором коэффициент R принимает максимальное значение.

Для оценки значимости R применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле

где n — размер выборки (количество экспериментов);

Если F превышает некоторое критическое значение для данных n и k и принятой доверительной вероятности, то величина R считается существенной. Таблицы критических значений F приводятся в справочниках по математической статистике.

Для построения линейной регрессионной модели необходимо:

1) подготовить список из n строк и m столбцов, содержащий экспериментальные данные (столбец, содержащий выходную величину Y должен быть либо первым, либо последним в списке); для примера возьмем данные предыдущего задания, добавив столбец с названием «№ периода», пронумеруем номера периодов от 1 до 12. (это будут значения Х)

Если пункт «Анализ данных» в меню «Сервис» отсутствует, то следует обратиться к пункту «Надстройки» того же меню и установить флажок «Пакет анализа».

· выходной интервал — верхняя левая ячейка интервала, в который будут помещаться результаты вычислений (рекомендуется разместить на новом рабочем листе);

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

График линейной функции. Свойства и Формулы

И сегодня я хочу рассказать вам о принципах его работы, хитростях и подводных камнях. А чтобы не сводиться к сухим пересказам документации, разбавленным дополнениями «из жизни» — я заодно вкратце расскажу, как мы реализовывали подобный механизм.

Функция интерполяции в excel

В архиве находится два файла.
1) Лист Excel с примером таблицы для интерполирования. Вводить значения надо в поля, выделенные желтым. При использовании данного файла можно менять значения таблицы и размер таблицы с последующим сохранением и повторным использованием.

Метод интерполяции: что это такое?

В вычислительной математике так называют способ нахождения промежуточных неизвестных значений функции Y(X) по дискретному набору уже известных.

Интерполяция функции Y(X) может осуществляться только для тех ее аргументов, которые находятся внутри интервала [X , X_n], такого, что известны значения Y(X ) и Y(X_n).

Если X не принадлежит [X , X_n], то можно использовать метод экстраполяции.

В классической постановке интерполяционной задачи требуется найти приближенную аналитическую функцию φ(X), у которой значения в узловых точках X_i совпадают со значениями Y(X_i) исходной таблицы, т. е. соблюдается условие φ (X_i)=Y_i (i = 0,1,2. n).

Линейная интерполяция в Excel

В самом известном табличном процессоре от Microsoft присутствует крайне полезный оператор «ПРЕДСКАЗ».

Рассмотрим данные, размещенные в в таблице, представленной ниже.

В первом столбце находятся аргументы x, а во втором — соответствующие им значения некоторой линейной функции f(x). Предположим, что нам нужно узнать значение для аргумента x=28. Для этого:

• выделяют любую пустую ячейку на листе табличного процессора, куда будет выводиться результат от осуществленных действий, например C1;
• кликают по значку «fx» («Вставить функцию»), размещенному слева от строки формул;
• в окошке «Мастера функций» заходят в категорию «Математические»;
• находят оператор «ПРЕДСКАЗ» и нажимают на «OK».

В окне аргументов есть 3 поля. В первое вводят с клавиатуры значение аргумента (в конкретной задаче это 28). Для того чтобы заполнить поле «Известные значения _ y», нажимают на иконку с красной стрелкой слева от соответствующего окошка и выделяют соответствующую область на листе. В конкретном случае это часть столбца В с адресами из диапазона B2:B7.

Точно так же заполняют поле «Известные значения _ x» и нажимают на кнопку «Ок».

В результате в выделенной ячейке C1 отображается значение 176, являющееся итогом процедуры интерполяции.

Графический метод: подготовка

Интерполяция в Excel в таком случае начинается с построения графика. Для этого:

• во вкладке «Вставка» выделяют табличный диапазон;
• в блоке инструментов «Диаграммы» выбирают значок «График»;
• в появившемся списке выбирают тот, который лучше подходит для решения конкретной задачи.

Так как в ячейке B9 пусто, график получился разорванный. Кроме того, на нем присутствует дополнительная линия X, в которой нет необходимости, а на горизонтальной оси вместо значений аргумента указаны пункты по порядку.

Интерполяция в Excel: решение графическим методом

Займемся обработкой графика. Для этого выделяют сплошную синюю линию и удаляют ее нажатием кнопки Delete, которая находится на клавиатуре.

• выделяют плоскость, на которой находится график;
• в контекстном меню выбирают кнопку «Выбрать данные…»;
• в окне «Выбор источника данных» в правом блоке нажимают «Изменить»;
• нажимают на иконку с красной стрелкой справа от поля «Диапазон подписей осей»;
• выделяют диапазон А2:А11;
• нажимают на кнопку «OK»;
• вновь вызывают окно «Выбор источника данных»;
• нажимают на кнопку «Скрытые и пустые ячейки» в нижнем левом углу;
• в строке «Показывать пустые ячейки» переключатель переставляют в позицию «Линия» и нажимают «OK»;
• подтверждают эти действия тем же способом.

Если все сделано правильно, разрыв будет удален, а путем наведения курсора на нужную точку графика можно будет увидеть соответствующие значения аргумента и функции.

Использование специальной функции НД

Теперь, когда вы знаете, как сделать интерполяцию в Excel графическим методом или посредством оператора «ПРЕДСКАЗ», решение многих практических задач для вас не составит большого труда. Однако это еще не все. Табличный процессор от Microsoft представляет возможность найти неизвестное значение функции с помощью функции НД.

Предположим, что график уже построен, на нем уже установлены корректные подписи шкалы. Попробуем ликвидировать разрыв. Для этого:

• выделяют в таблице ячейку, в которой отсутствует значение функции;
• выбирают значок «Вставить функцию»;
• в «Мастере функций» в окошке «Категории» находят строку «Полный алфавитный перечень» (в некоторых версиях процессора «Проверка свойств и значений»);
• нажимают на запись «НД» и жмут на кнопку «OK».

После этого в ячейке B9 появляется значение ошибки «#Н/Д». Однако обрыв графика автоматически устраняется.

Вы можете поступить даже проще: внести с клавиатуры в ячейку B9 символы «#Н/Д» (без кавычек).

Билинейная интерполяция

Круг задач, для решения которых можно использовать моделирование посредством функций одной переменной, достаточно ограничен. Поэтому имеет смысл рассмотреть, как используется формула двойной интерполяции в Excel. Примеры могут быть самыми разными. Например: имеется таблица (см. ниже).

Требуется вычислить давление ветра при величине пролета 300 м на высоте 25 м.

В таблицу добавляют новые записи так, как представлено на рисунке (см. ниже).

Как видно, в нее добавлены ячейки для высоты и пролета в J1 и J2.

Путем обратной последовательной подстановки «собирают» мегаформулу, необходимую для нахождения давления ветра при конкретных параметрах. Для этого:

• копируют текст формулы из ячейки с адресом J17 в ячейку J19;
• заменяют в формуле ссылку на J15 значением в ячейке J15: J7+(J8-J7)*J11/J13;
• повторяют эти действия до получения необходимой формулы.

Использование spline

Теперь вы знаете, как написать формулу двойной интерполяции в Excel корректно или найти неизвестное значение линейной функции посредством встроенных операторов или графика. Надеемся, что эта информация поможет вам в решении множества практических задач.

При работе с различными данными среди значений нужно найти промежуточное число, для этого есть такое определение как интерполяция. Рассмотрим как это сделать в программе Excel для значений в таблицах и в графиках.

В отличии от экстраполяции, в интерполяции число, которое нужно найти, должно быть в пределах рабочих данных. Как пример, если есть числа 10, 15, 25, то для определения числа 11 или 16, можно использовать интерполяцию, если же значение например 26, то нет.

Метод первый. Использование интерполяции для значений в таблице

Часто интерполяция используется при работе с табличными значениями. Рассмотрим таблицу с аргументами и функции, которая относится к ним. Проведем интерполяцию соответственно к аргументу 28 с помощью функции ПРЕДСКАЗ.

Нужно выбрать ячейку без значения, в которой в конечном итоге мы получим результат. Далее кликнуть в строке формул слева на кнопку «Вставка функции».

В окне мастера функций нужно выбрать категорию «Математические» и в списке функций выбрать ПРЕДСКАЗ, а после этого подтвердить действие.

Откроется окно, в котором нужно задать параметры выбранной нами функции. В поле с названием «Х» нужно ввести искомое число (28). В поле где надо ввести известные значения у вводим диапазон ячеек, где введены значения в таблице. Аналогично делается и для поля значений аргументов Х. После произведенных манипуляций – подтверждаем действие.

Число, которое нужно было определить, будет показано в ячейке, которая была выбрана для показа результата.

Метод второй. Интерполяция с помощью настроек графика

Результатом будет выданный в листе график, но он пока что не оптимизирован. Видно что для одного значения не была найдена функция и есть ненужная линия и не указаны значения аргументов. Для начала кликаем на цельную синюю линию и удаляем её.

Далее нужно выделить область где находится график.А потом нажать в списке на «Выбрать данные».

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Разбираем и вычисляем формулы MS Excel / Хабр

Несколько способов решить одну из наиболее распространенных задач при работе в Microsoft Excel — вычислить итоги (сумму, среднее, количество и т.д.) только для тех строк в таблице, которые удовлетворяют заданному условию или набору из нескольких условий.